Условие
Векторы a⃗ и b⃗ перпендикулярны к вектору c⃗, угол между a⃗ и b⃗ равен 120°, |a⃗| = |b⃗| = |c⃗| = 1. Вычислите: а) скалярные произведения (a⃗ + b⃗ + c⃗)·(2b⃗) и (a⃗ − b⃗ + c⃗)·(a⃗ − c⃗); б) |a⃗ − b⃗| и |a⃗ + b⃗ − c⃗|.
Разбор задания
Номер 700 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- По условию a⃗·c⃗ = b⃗·c⃗ = 0, a⃗·b⃗ = 1·1·cos 120° = −½, a⃗² = b⃗² = c⃗² = 1.
- а) (a⃗ + b⃗ + c⃗)·2b⃗ = 2(a⃗·b⃗ + b⃗² + c⃗·b⃗) = 2(−½ + 1 + 0) = 1. (a⃗ − b⃗ + c⃗)·(a⃗ − c⃗) = a⃗² − a⃗·c⃗ − a⃗·b⃗ + b⃗·c⃗ + a⃗·c⃗ − c⃗² = 1 − 0 + ½ + 0 + 0 − 1 = ½.
- б) |a⃗ − b⃗|² = a⃗² − 2a⃗·b⃗ + b⃗² = 1 + 1 + 1 = 3, |a⃗ − b⃗| = √3. |a⃗ + b⃗ − c⃗|² = a⃗² + b⃗² + c⃗² + 2a⃗·b⃗ − 2a⃗·c⃗ − 2b⃗·c⃗ = 3 − 1 = 2, |a⃗ + b⃗ − c⃗| = √2.
Ответ
а) 1 и ½; б) √3 и √2.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →