Условие
В тетраэдре ABCD противоположные рёбра AD и BC, а также BD и AC перпендикулярны. Докажите, что противоположные рёбра CD и AB также перпендикулярны.
Разбор задания
Номер 704 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Введём векторы a⃗ = DA⃗, b⃗ = DB⃗, c⃗ = DC⃗. Тогда AB⃗ = b⃗ − a⃗, AC⃗ = c⃗ − a⃗, BC⃗ = c⃗ − b⃗.
- AD ⟂ BC даёт a⃗·(c⃗ − b⃗) = 0, то есть a⃗·c⃗ = a⃗·b⃗. BD ⟂ AC даёт b⃗·(c⃗ − a⃗) = 0, то есть b⃗·c⃗ = a⃗·b⃗.
- Значит, a⃗·c⃗ = b⃗·c⃗, откуда c⃗·(b⃗ − a⃗) = 0, то есть DC⃗·AB⃗ = 0 — рёбра CD и AB перпендикулярны.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →