Условие
Все рёбра тетраэдра ABCD равны друг другу. Точки M и N — середины рёбер AD и BC. Докажите, что MN⃗·AD⃗ = MN⃗·BC⃗ = 0.
Разбор задания
Номер 702 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Пусть ребро равно a, b⃗ = AB⃗, c⃗ = AC⃗, d⃗ = AD⃗. Все углы между этими векторами равны 60°, поэтому b⃗·c⃗ = b⃗·d⃗ = c⃗·d⃗ = a²/2, а b⃗² = c⃗² = d⃗² = a².
- AM⃗ = ½d⃗, AN⃗ = ½(b⃗ + c⃗), значит MN⃗ = AN⃗ − AM⃗ = ½(b⃗ + c⃗ − d⃗).
- MN⃗·AD⃗ = ½(b⃗·d⃗ + c⃗·d⃗ − d⃗²) = ½(a²/2 + a²/2 − a²) = 0.
- BC⃗ = c⃗ − b⃗, MN⃗·BC⃗ = ½(b⃗·c⃗ − b⃗² + c⃗² − b⃗·c⃗ − c⃗·d⃗ + b⃗·d⃗) = ½(−a² + a² − a²/2 + a²/2) = 0.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →