Номер 701 — Геометрия 11 класс

Докажите, что координаты ненулевого вектора a⃗ в прямоугольной системе координат равны {|a⃗|cos φ₁; |a⃗|cos φ₂; |a⃗|cos φ₃}, где φ₁, φ₂, φ₃ — углы между вектором a⃗ и координатными векторами i⃗, j⃗, k⃗.

1. Пусть a⃗{x; y; z}, то есть a⃗ = x·i⃗ + y·j⃗ + z·k⃗. Умножим это равенство скалярно на i⃗: a⃗·i⃗ = x·i⃗² + y·j⃗·i⃗ + z·k⃗·i⃗ = x, так как i⃗² = 1, а j⃗·i⃗ = k⃗·i⃗ = 0.
2. С другой стороны, a⃗·i⃗ = |a⃗|·|i⃗|·cos φ₁ = |a⃗|cos φ₁. Значит, x = |a⃗|cos φ₁.
3. Точно так же, умножая на j⃗ и k⃗, получаем y = |a⃗|cos φ₂, z = |a⃗|cos φ₃.