Номер 705 — Геометрия 11 класс

Вычислите угол между прямыми AB и CD, если: а) A(3; −2; 4), B(4; −1; 2), C(6; −3; 2), D(7; −3; 1); б) A(5; −8; −1), B(6; −8; −2), C(7; −5; −11), D(7; −7; −9); в) A(1; 0; 2), B(2; 1; 0), C(0; −2; −4), D(−2; −4; 0); г) A(−6; −15; 7), B(−7; −15; 8), C(14; −10; 9), D(14; −10; 7).

1. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами AB⃗ и CD⃗.
2. а) AB⃗{1; 1; −2}, CD⃗{1; 0; −1}: произведение 3, длины √6 и √2, cos = 3/√12 = √3/2, угол 30°.
3. б) AB⃗{1; 0; −1}, CD⃗{0; −2; 2}: произведение −2, длины √2 и √8, |cos| = 2/4 = ½, угол 60°.
4. в) AB⃗{1; 1; −2}, CD⃗{−2; −2; 4} = −2·AB⃗ — векторы коллинеарны, прямые параллельны, угол 0°.
5. г) AB⃗{−1; 0; 1}, CD⃗{0; 0; −2}: произведение −2, длины √2 и 2, |cos| = 2/(2√2) = √2/2, угол 45°.