Условие
Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой AA₁ = √2·AB. Найдите угол между прямыми AC₁ и A₁B.
Разбор задания
Номер 706 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Пусть AB = a, тогда AA₁ = a√2. Введём координаты с началом в C: ось Oy по CB, ось Oz по CC₁, ось Ox — в плоскости основания перпендикулярно CB. Тогда C(0; 0; 0), B(0; a; 0), A(a√3/2; a/2; 0), A₁(a√3/2; a/2; a√2), C₁(0; 0; a√2).
- AC₁⃗{−a√3/2; −a/2; a√2}, A₁B⃗{−a√3/2; a/2; −a√2}.
- AC₁⃗·A₁B⃗ = 3a²/4 − a²/4 − 2a² = −3a²/2. |AC₁⃗| = |A₁B⃗| = √(3a²/4 + a²/4 + 2a²) = a√3.
- cos φ = |−3a²/2|/(3a²) = ½, φ = 60°.
Ответ
60°.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →