Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точка M лежит на ребре AA₁, причём AM : MA₁ = 3 : 1, а точка N — середина ребра BC. Вычислите косинус угла между прямыми: а) MN и DD₁; б) MN и BD; в) MN и B₁D; г) MN и A₁C.
Разбор задания
Номер 707 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Пусть ребро куба равно a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), верхние вершины с z = a. Тогда M(0; 0; 3a/4), N(a; a/2; 0), MN⃗{a; a/2; −3a/4}, |MN⃗| = a√(1 + ¼ + 9/16) = a√29/4.
- а) DD₁⃗{0; 0; a}: произведение −3a²/4, |cos| = (3a²/4)/(a√29/4 · a) = 3/√29.
- б) BD⃗{−a; a; 0}: произведение −a² + a²/2 = −a²/2, |cos| = (a²/2)/(a√29/4 · a√2) = 2/√58.
- в) B₁D⃗{−a; a; −a}: произведение −a² + a²/2 + 3a²/4 = a²/4, cos = (a²/4)/(a√29/4 · a√3) = 1/√87.
- г) A₁C⃗{a; a; −a}: произведение a² + a²/2 + 3a²/4 = 9a²/4, cos = (9a²/4)/(a√29/4 · a√3) = 9/√87 = 3√3/√29.
Ответ
а) 3/√29; б) 2/√58; в) 1/√87; г) 9/√87.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →