Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ диагонали грани ABCD пересекаются в точке N, а точка M лежит на ребре A₁D₁, причём A₁M : MD₁ = 1 : 4. Вычислите синус угла между прямой MN и плоскостью грани: а) ABCD; б) DD₁C₁C; в) AA₁D₁D.
Разбор задания
Номер 710 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Пусть ребро равно a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0; a; 0), A₁(0; 0; a). Тогда N(a/2; a/2; 0), M(0; a/5; a), MN⃗{a/2; 3a/10; −a}, |MN⃗| = a√(¼ + 9/100 + 1) = a√134/10.
- Синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и перпендикуляром к плоскости.
- а) Перпендикуляр к ABCD — k⃗{0; 0; 1}: sin = |−a|/(a√134/10) = 10/√134.
- б) Перпендикуляр к DD₁C₁C — j⃗: sin = (3a/10)/(a√134/10) = 3/√134.
- в) Перпендикуляр к AA₁D₁D — i⃗: sin = (a/2)/(a√134/10) = 5/√134.
Ответ
а) 10/√134; б) 3/√134; в) 5/√134.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →