Условие
В тетраэдре ABCD ∠ABD = ∠ABC = ∠DBC = 90°, AB = BD = 2, BC = 1. Вычислите синус угла между прямой, проходящей через середины рёбер AD и BC, и плоскостью грани: а) ABD; б) DBC; в) ABC.
Разбор задания
Номер 711 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Рёбра BA, BC, BD попарно перпендикулярны — направим по ним оси: B(0; 0; 0), A(2; 0; 0), C(0; 1; 0), D(0; 0; 2).
- Середины: E(1; 0; 1) — середина AD, F(0; ½; 0) — середина BC. EF⃗{−1; ½; −1}, |EF⃗| = √(1 + ¼ + 1) = 3/2.
- Синус угла между прямой и плоскостью — модуль косинуса угла между EF⃗ и перпендикуляром к плоскости.
- а) Плоскость ABD — это Oxz, перпендикуляр j⃗: sin = (½)/(3/2) = ⅓.
- б) Плоскость DBC — это Oyz, перпендикуляр i⃗: sin = 1/(3/2) = ⅔.
- в) Плоскость ABC — это Oxy, перпендикуляр k⃗: sin = 1/(3/2) = ⅔.
Ответ
а) ⅓; б) ⅔; в) ⅔.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →