Условие
Дан куб MNPQM₁N₁P₁Q₁. Докажите, что прямая PM₁ перпендикулярна к плоскостям MN₁Q₁ и QNP₁.
Разбор задания
Номер 713 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Введём координаты с ребром 1: M(0; 0; 0), N(1; 0; 0), P(1; 1; 0), Q(0; 1; 0), M₁(0; 0; 1), N₁(1; 0; 1), P₁(1; 1; 1), Q₁(0; 1; 1). PM₁⃗{−1; −1; 1}.
- Плоскость MN₁Q₁ содержит пересекающиеся прямые MN₁ и MQ₁: MN₁⃗{1; 0; 1}, MQ₁⃗{0; 1; 1}. PM₁⃗·MN₁⃗ = −1 + 0 + 1 = 0, PM₁⃗·MQ₁⃗ = 0 − 1 + 1 = 0. Прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, значит перпендикулярна плоскости.
- Плоскость QNP₁: QN⃗{1; −1; 0}, QP₁⃗{1; 0; 1}. PM₁⃗·QN⃗ = −1 + 1 + 0 = 0, PM₁⃗·QP₁⃗ = −1 + 0 + 1 = 0. Значит, PM₁ ⟂ плоскости QNP₁.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →