Условие
Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых содержит диагональ куба, а другая — диагональ грани куба, равен 90°.
Разбор задания
Номер 712 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Введём координаты: вершина A в начале, рёбра AB, AD, AA₁ по осям, ребро равно 1. Диагональ куба AC₁ имеет направляющий вектор {1; 1; 1}.
- Диагонали граней, скрещивающиеся с AC₁, — это те, что не проходят через A и C₁: BD, B₁D₁, A₁B, D₁C, A₁D, B₁C. Их направляющие векторы: {−1; 1; 0}, {−1; 1; 0}, {1; 0; −1}, {1; 0; −1}, {0; 1; −1}, {0; 1; −1} — у каждого одна координата равна 1, другая −1, третья 0.
- Скалярное произведение любого из них с {1; 1; 1} равно 1 − 1 = 0, значит угол между прямыми равен 90°. Для других диагоналей куба рассуждение то же с точностью до переобозначения вершин.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →