Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ ∠BAC₁ = ∠DAC₁ = 60°. Найдите φ = ∠A₁AC₁.
Разбор задания
Номер 715 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Направим оси координат по рёбрам AB, AD, AA₁ и рассмотрим единичный вектор a⃗, сонаправленный с AC₁⃗. Его координаты — косинусы углов с осями (задача 701): a⃗{cos 60°; cos 60°; cos φ} = {½; ½; cos φ}.
- Так как |a⃗| = 1, то ¼ + ¼ + cos²φ = 1, cos²φ = ½. Угол φ острый (это угол между ребром и диагональю, выходящими из одной вершины), поэтому cos φ = √2/2, φ = 45°.
Ответ
45°.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →