Условие
Угол между диагональю AC₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ и каждым из рёбер AB и AD равен 60°. Найдите ∠CAC₁.
Разбор задания
Номер 717 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Направим оси по рёбрам AB, AD, AA₁. Единичный вектор вдоль AC₁⃗ имеет координаты {cos 60°; cos 60°; cos φ}, где φ = ∠A₁AC₁. Из ¼ + ¼ + cos²φ = 1 получаем cos φ = √2/2, φ = 45°.
- Треугольник ACC₁ прямоугольный (CC₁ ⟂ AC), а AA₁ ∥ CC₁, поэтому ∠CAC₁ = 90° − ∠A₁AC₁ = 90° − 45° = 45°. (Иначе: CC₁ = AC₁·cos 45°, AC = AC₁·sin 45° — катеты равны.)
Ответ
45°.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →