Условие
Проекция точки K на плоскость квадрата ABCD совпадает с центром этого квадрата. Докажите, что угол между прямыми AK и BD равен 90°.
Разбор задания
Номер 718 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Пусть O — центр квадрата, KO ⟂ плоскости ABCD. Введём координаты с началом O, направив оси Ox и Oy вдоль диагоналей AC и BD, а Oz — по OK: A(−d; 0; 0), C(d; 0; 0), B(0; −d; 0), D(0; d; 0), K(0; 0; h).
- AK⃗{d; 0; h}, BD⃗{0; 2d; 0}. AK⃗·BD⃗ = 0 + 0 + 0 = 0.
- Значит, AK ⟂ BD, угол между прямыми 90°. (Это же следует из теоремы о трёх перпендикулярах: проекция AO прямой AK перпендикулярна BD.)
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →