Номер 721 — Геометрия 11 класс

Докажите, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

1. Пусть O — центр симметрии. Для любых точек M, N и их образов M′, N′ выполняется M′N′⃗ = −MN⃗ (так как OM′⃗ = −OM⃗, ON′⃗ = −ON⃗).
2. а) Возьмём в плоскости α три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Их образы A′, B′, C′ тоже не лежат на одной прямой (A′B′⃗ = −AB⃗ и A′C′⃗ = −AC⃗ не коллинеарны) и задают плоскость α′. Любая точка M ∈ α имеет вид AM⃗ = x·AB⃗ + y·AC⃗, тогда A′M′⃗ = −AM⃗ = x·A′B′⃗ + y·A′C′⃗, то есть M′ ∈ α′. Значит, α отображается на α′, причём α′ ∥ α (у плоскостей одни и те же направляющие векторы AB⃗, AC⃗). Совпасть они не могут: иначе середина O отрезка AA′ лежала бы в α.
3. б) Если O ∈ α, то для точки M ∈ α её образ M′ лежит на прямой OM, которая целиком лежит в α. Значит, все точки α переходят в точки α, и каждая точка α — образ симметричной ей точки. Плоскость отображается на себя.