Условие
Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
Разбор задания
Номер 720 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Пусть O — центр симметрии. Для любой точки M её образ M′ определяется равенством OM′⃗ = −OM⃗. Для двух точек M, N и их образов M′N′⃗ = ON′⃗ − OM′⃗ = −(ON⃗ − OM⃗) = −MN⃗.
- а) Возьмём на прямой a две точки M и N. Их образы M′ и N′ задают прямую a′, причём M′N′⃗ = −MN⃗, то есть a′ ∥ a или a′ совпадает с a. Любая точка P прямой a имеет вид MP⃗ = t·MN⃗, поэтому M′P′⃗ = −MP⃗ = t·M′N′⃗ — образ P′ лежит на a′. Итак, a отображается на a′. Если бы a′ совпала с a, то середина отрезка MM′ (точка O) лежала бы на a — противоречие. Значит, a′ ∥ a.
- б) Если O ∈ a, то для точки M ∈ a образ M′ лежит на прямой OM, то есть на a. Значит, все точки прямой a переходят в точки той же прямой, и каждая точка прямой является образом своей симметричной точки — прямая отображается на себя.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →