Условие
Докажите, что при осевой симметрии: а) прямая, параллельная оси, отображается на прямую, параллельную оси; б) прямая, образующая с осью угол φ, отображается на прямую, также образующую с осью угол φ.
Разбор задания
Номер 722 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Направим ось Oz по оси симметрии. Тогда симметрия переводит точку (x; y; z) в точку (−x; −y; z).
- а) Прямая, параллельная оси, состоит из точек (x₀; y₀; t), где t — любое число. Их образы (−x₀; −y₀; t) образуют прямую, тоже параллельную оси Oz.
- б) Пусть прямая имеет направляющий вектор p⃗{p₁; p₂; p₃}. Косинус угла с осью: cos φ = |p₃|/|p⃗|. Образ прямой (движение переводит прямую в прямую) имеет направляющий вектор {−p₁; −p₂; p₃} той же длины и с той же третьей координатой, поэтому угол с осью снова равен φ.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →