Условие
При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β₁. Докажите, что если: а) β ∥ α, то β₁ ∥ α; б) β ⟂ α, то β₁ совпадает с β.
Разбор задания
Номер 724 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 3. Метод координат в пространстве
Решение
- Введём координаты так, чтобы α была плоскостью Oxy: симметрия переводит (x; y; z) в (x; y; −z).
- а) Если β ∥ α, то β задаётся уравнением z = c, где c ≠ 0. Образы её точек — все точки с z = −c, то есть β₁ — плоскость z = −c, параллельная α.
- б) Если β ⟂ α, то β содержит прямую, перпендикулярную α; направим по ней ось Oz, тогда β — плоскость y = 0 (все точки вида (x; 0; z)). Образ точки (x; 0; z) — точка (x; 0; −z), она снова лежит в β. Значит, β₁ = β.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →