Номер 725 — Геометрия 11 класс

Докажите, что при параллельном переносе на вектор p⃗, где p⃗ ≠ 0⃗: а) прямая, не параллельная вектору p⃗ и не содержащая этот вектор, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, параллельная вектору p⃗ или содержащая этот вектор, отображается на себя.

1. При переносе точка M переходит в M′ с MM′⃗ = p⃗, поэтому для любых точек M′N′⃗ = MN⃗ (образ отрезка — равный и параллельный отрезок).
2. а) Возьмём на прямой a точки M, N. Их образы M′, N′ задают прямую a′ с тем же направляющим вектором MN⃗, и каждая точка X ∈ a (MX⃗ = t·MN⃗) переходит в точку X′ с M′X′⃗ = t·M′N′⃗, лежащую на a′. Значит, a отображается на a′, и a′ ∥ a либо a′ = a. Если бы a′ = a, точка M′ лежала бы на a, и вектор MM′⃗ = p⃗ был бы параллелен a — противоречие.
3. б) Если a ∥ p⃗ (или p⃗ лежит на a), то для любой точки M ∈ a вектор MM′⃗ = p⃗ направлен вдоль a, поэтому M′ ∈ a. Все точки a переходят в точки a, и каждая точка a является образом (точки, полученной переносом на −p⃗). Прямая отображается на себя.