Номер 726 — Геометрия 11 класс

Треугольник A₁B₁C₁ получен параллельным переносом треугольника ABC на вектор p⃗. Точки M₁ и M — соответственно точки пересечения медиан треугольников A₁B₁C₁ и ABC. Докажите, что при параллельном переносе на вектор p⃗ точка M переходит в точку M₁.

1. Пусть O — произвольная точка. Для точек пересечения медиан OM⃗ = ⅓(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗), OM₁⃗ = ⅓(OA₁⃗ + OB₁⃗ + OC₁⃗).
2. По условию OA₁⃗ = OA⃗ + p⃗, OB₁⃗ = OB⃗ + p⃗, OC₁⃗ = OC⃗ + p⃗. Тогда OM₁⃗ = ⅓(OA⃗ + OB⃗ + OC⃗ + 3p⃗) = OM⃗ + p⃗.
3. Значит, MM₁⃗ = p⃗, то есть M₁ — образ точки M при переносе на p⃗.