Номер 727 — Геометрия 11 класс

Докажите, что при движении: а) прямая отображается на прямую; б) плоскость отображается на плоскость.

1. Движение сохраняет расстояния. Три точки M, N, P лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда одно из расстояний между ними равно сумме двух других; это свойство сохраняется, поэтому образы точек одной прямой лежат на одной прямой.
2. а) Пусть a — прямая, A, B ∈ a, A′, B′ — их образы, a′ = A′B′. Любая точка M ∈ a переходит в точку M′, лежащую на одной прямой с A′ и B′, то есть M′ ∈ a′. Обратно, для точки X′ ∈ a′ её прообраз X (движение обратимо, и обратное отображение — тоже движение) лежит на одной прямой с A и B, то есть на a. Значит, a отображается на a′.
3. б) Пусть α — плоскость, A, B, C ∈ α не лежат на одной прямой. Их образы A′, B′, C′ тоже не лежат на одной прямой (иначе одно из расстояний равнялось бы сумме двух других и для A, B, C). Пусть α′ = A′B′C′. Точка M ∈ α либо лежит на прямой BC, либо прямая AM пересекает прямую BC в точке N, либо AM ∥ BC — тогда прямая BM пересекает прямую AC в точке N. В каждом случае M лежит на прямой, проходящей через две точки плоскости, образы которых лежат в α′ (по п. а образ прямой BC — прямая B′C′ ⊂ α′ и т. д.). Поэтому M′ ∈ α′. Обратное включение получается с помощью обратного движения.