Условие
Докажите, что если одна из высот тетраэдра проходит через точку пересечения высот противоположной грани, то и остальные высоты этого тетраэдра проходят через точки пересечения высот противоположных граней.
Разбор задания
Номер 769 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть в тетраэдре ABCD высота DH попадает в точку H пересечения высот грани ABC. Тогда AH ⟂ BC и DH ⟂ BC, значит BC ⟂ плоскости ADH, откуда BC ⟂ AD. Точно так же CA ⟂ BD и AB ⟂ CD: все пары противоположных рёбер перпендикулярны.
- Пусть теперь AH₁ — высота из вершины A, H₁ ∈ плоскости BCD. Так как BC ⟂ AH₁ и BC ⟂ AD, прямая BC перпендикулярна плоскости ADH₁, поэтому BC ⟂ DH₁ — DH₁ является высотой треугольника BCD. Аналогично из CD ⟂ AB и CD ⟂ AH₁ следует CD ⟂ BH₁. Значит, H₁ — точка пересечения высот грани BCD.
- Те же рассуждения применимы к высотам из вершин B и C.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →