Условие
Все плоские углы тетраэдра OABC при вершине O равны 90°. Докажите, что площадь треугольника AOB равна среднему геометрическому площадей треугольников ABC и O₁AB, где O₁ — проекция точки O на плоскость ABC.
Разбор задания
Номер 770 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть φ — угол между плоскостями AOB и ABC. Проекция треугольника ABC на плоскость AOB — треугольник ABO (так как OC ⟂ плоскости AOB, точка C проектируется в O). Поэтому S(AOB) = S(ABC)·cos φ.
- Проекция треугольника AOB на плоскость ABC — треугольник ABO₁ (точки A, B остаются на месте, O переходит в O₁). Поэтому S(O₁AB) = S(AOB)·cos φ.
- Перемножая: S(AOB)·S(O₁AB) = S(ABC)·cos φ·S(AOB)·cos φ, а из первого равенства S(AOB)² = S(ABC)²cos²φ. Значит, S(ABC)·S(O₁AB) = S(ABC)·S(AOB)·cos φ = S(AOB)², то есть S(AOB) = √(S(ABC)·S(O₁AB)).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →