Условие
Через ребро тетраэдра проведена плоскость, разделяющая двугранный угол при этом ребре пополам. Докажите, что она делит противоположное ребро тетраэдра в отношении, равном отношению площадей граней, заключающих этот двугранный угол.
Разбор задания
Номер 771 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть плоскость проходит через ребро AB тетраэдра ABCD и пересекает ребро CD в точке M. Сравним объёмы тетраэдров ABCM и ABDM.
- С одной стороны, у них общая грань ABM, а высоты, опущенные из C и D на плоскость ABM, относятся как CM : MD (точки C, M, D лежат на одной прямой). Значит, V(ABCM) : V(ABDM) = CM : MD.
- С другой стороны, V(ABCM) = ⅓·S(ABC)·d₁ и V(ABDM) = ⅓·S(ABD)·d₂, где d₁, d₂ — расстояния от M до плоскостей ABC и ABD. Точка M лежит в биссекторной плоскости двугранного угла, поэтому d₁ = d₂.
- Следовательно, CM : MD = S(ABC) : S(ABD).
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →