Условие
Докажите, что прямая, пересекающая две грани двугранного угла, образует с ними равные углы тогда и только тогда, когда точки пересечения равноудалены от ребра.
Разбор задания
Номер 773 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть прямая пересекает грани α и β двугранного угла с ребром c в точках A ∈ α и B ∈ β, величина двугранного угла φ. Опустим перпендикуляры AA₁ на плоскость β и BB₁ на плоскость α.
- Синусы углов между прямой AB и гранями: sin ∠(AB, β) = AA₁/AB, sin ∠(AB, α) = BB₁/AB. Углы равны тогда и только тогда, когда AA₁ = BB₁.
- Пусть AK ⟂ c (K ∈ c). По теореме о трёх перпендикулярах A₁K ⟂ c, поэтому ∠AKA₁ = φ (линейный угол) и AA₁ = AK·sin φ. Аналогично BB₁ = BL·sin φ, где BL — расстояние от B до ребра.
- Итак, AA₁ = BB₁ ⇔ AK·sin φ = BL·sin φ ⇔ AK = BL, то есть точки A и B равноудалены от ребра.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →