Номер 774 — Геометрия 11 класс

Докажите, что сечением куба может быть правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник, но не может быть правильный пятиугольник и правильный многоугольник с числом сторон более шести.

1. Правильный треугольник: плоскость A₁BD куба ABCDA₁B₁C₁D₁ даёт сечение со сторонами — диагоналями граней, все равны a√2. Квадрат: сечение плоскостью, параллельной грани (или сама грань). Правильный шестиугольник: плоскость, проходящая через середины рёбер AB, BC, CC₁, C₁D₁, D₁A₁, A₁A (она перпендикулярна диагонали B₁D и проходит через центр куба); все шесть сторон равны a√2/2, все углы равны 120°.
2. Каждая сторона сечения лежит в одной из граней куба, и в одной грани не может лежать две стороны. Поэтому число сторон сечения не превосходит числа граней, то есть 6 — правильного многоугольника с семью и более сторонами быть не может.
3. У пятиугольного сечения пять сторон лежат в пяти различных гранях; среди пяти граней куба обязательно найдутся две параллельные (граней всего три пары). Плоскость сечения пересекает параллельные грани по параллельным прямым, значит, у такого пятиугольника есть две параллельные стороны. У правильного пятиугольника параллельных сторон нет, поэтому правильный пятиугольник сечением куба быть не может.