Номер 775 — Геометрия 11 класс

Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин куба до прямой, проходящей через его центр, не зависит от положения этой прямой.

1. Введём координаты с началом в центре куба и осями, параллельными рёбрам; ребро равно a. Вершины имеют координаты (±a/2; ±a/2; ±a/2) — все 8 комбинаций знаков. Пусть e⃗{e₁; e₂; e₃} — единичный вектор прямой.
2. Квадрат расстояния от точки с радиус-вектором r⃗ до прямой через начало координат равен r⃗² − (r⃗·e⃗)². Для каждой вершины r⃗² = 3a²/4.
3. Σ(r⃗·e⃗)² = (a²/4)·Σ(±e₁ ± e₂ ± e₃)². При раскрытии квадратов удвоенные произведения вида ±2e₁e₂ входят с обоими знаками поровну и взаимно уничтожаются, а сумма квадратов даёт 8(e₁² + e₂² + e₃²) = 8. Итак, Σ(r⃗·e⃗)² = 2a².
4. Сумма квадратов расстояний = 8·3a²/4 − 2a² = 6a² − 2a² = 4a² — не зависит от направления прямой.