Номер 777 — Геометрия 11 класс

Комната имеет форму куба. Паук, сидящий в середине ребра, хочет, двигаясь по кратчайшему пути, поймать муху, сидящую в одной из самых удалённых от паука вершин куба. Как должен двигаться паук?

1. Пусть ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно a, паук сидит в середине M ребра AB. Самые удалённые вершины — C₁ и D₁ (расстояние до каждой √(a²/4 + a² + a²) = 1,5a). Пусть муха в D₁.
2. Кратчайший путь по поверхности проходит через две грани; развернём их на плоскость. Путь по граням ABCD и ADD₁A₁: при развёртке на плоскость грани ABCD точка D₁ попадает в точку с координатами (−a; a), если A(0; 0), B(a; 0), D(0; a), M(a/2; 0). Длина MD₁ = √(9a²/4 + a²) = a√13/2 ≈ 1,80a.
3. Путь через грани ABCD и DCC₁D₁ (или ABB₁A₁ и A₁B₁C₁D₁): в развёртке D₁ попадает в точку (0; 2a), длина √(a²/4 + 4a²) = a√17/2 ≈ 2,06a — длиннее. Путь через грани ABB₁A₁ и AA₁D₁D симметричен первому и имеет ту же длину a√13/2.
4. В первом пути отрезок из M(a/2; 0) в (−a; a) пересекает ребро AD (прямую x = 0) в точке (0; a/3). Значит, паук должен ползти по прямой к точке ребра AD, удалённой от вершины A на треть ребра, а затем по грани ADD₁A₁ по прямой к D₁ (или симметрично — через ребро AA₁). Длина пути a√13/2.