Номер 776 — Геометрия 11 класс

Разбейте куб на шесть равных тетраэдров.

1. Пусть ABCDA₁B₁C₁D₁ — куб с ребром a. Возьмём диагональ AC₁ и рассмотрим шесть «ступенчатых» путей из A в C₁ по трём взаимно перпендикулярным рёбрам: A–B–C–C₁, A–D–C–C₁, A–B–B₁–C₁, A–A₁–B₁–C₁, A–D–D₁–C₁, A–A₁–D₁–C₁.
2. Каждому пути отвечает тетраэдр с вершинами в его четырёх точках: ABCC₁, ADCC₁, ABB₁C₁, AA₁B₁C₁, ADD₁C₁, AA₁D₁C₁. У каждого из них рёбра a, a, a (три звена пути, попарно перпендикулярные), a√2, a√2 (диагонали граней) и a√3 (диагональ AC₁), расположенные одинаково, поэтому все шесть тетраэдров равны (они переводятся друг в друга симметриями куба относительно диагональных плоскостей).
3. Они заполняют куб без наложений: три пирамиды AC₁ с основаниями-гранями BCC₁B₁, DCC₁D₁, A₁B₁C₁D₁ (не содержащими A) заполняют куб (их объёмы по a³/3), а каждая такая пирамида делится диагональной плоскостью своего основания на два из наших тетраэдров. Например, пирамида AB CC₁B₁ делится плоскостью ABC₁ на ABCC₁ и ABB₁C₁.