Номер 778 — Геометрия 11 класс

Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же и даже больших размеров.

1. Спроектируем куб с ребром a на плоскость, перпендикулярную его диагонали. Проекция — правильный шестиугольник, вершины которого — проекции шести вершин куба, не лежащих на диагонали; его сторона равна проекции ребра куба: a·√(2/3) = a√6/3 ≈ 0,816a.
2. В правильный шестиугольник со стороной s можно вписать квадрат со стороной (3 − √3)s ≈ 1,268s (две стороны квадрата параллельны паре сторон шестиугольника, вершины лежат на его сторонах). При s = a√6/3 сторона квадрата равна (3 − √3)a√6/3 = a(√6 − √2) ≈ 1,035a > a.
3. Вырежем в кубе отверстие в форме прямой призмы, основание которой — этот квадрат, а рёбра параллельны диагонали куба (перпендикулярны плоскости проекции). Такое отверстие сквозное, оно целиком лежит внутри куба (его проекция лежит внутри проекции куба, а вдоль направления диагонали отверстие проходит через весь куб), и рёбра куба остаются связанными в единое тело.
4. Через квадратное отверстие со стороной ≈ 1,035a можно протащить куб с ребром a и даже с ребром до 1,035a, двигая его рёбрами вдоль оси отверстия.