Номер 779 — Геометрия 11 класс

Площадь боковой грани правильной шестиугольной пирамиды равна S. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды и параллельной плоскости боковой грани.

1. Пусть SABCDEF — пирамида, O — центр основания, h = SO, a — сторона основания, k = a√3/2 — апофема шестиугольника (расстояние от O до AB). Введём координаты: O — начало, ось Oy перпендикулярна AB (AB: y = −k), ось Oz по SO. Плоскость грани SAB: −hy + kz = kh; параллельная ей плоскость π через середину N(0; 0; h/2) высоты: −hy + kz = kh/2.
2. Найдём вершины сечения. Плоскость π пересекает основание (z = 0) по прямой y = −k/2, которая пересекает стороны BC и FA в точках с абсциссами ±3a/4. Рёбра SC и SF (у C и F ордината 0): из kz = kh/2 получаем z = h/2 — середины рёбер, их проекции на основание (±a/2; 0). Рёбра SD и SE (ордината k): точка S + t(D − S) даёт −htk + kh(1 − t) = kh/2, t = ¼; проекции (±a/8; k/4).
3. Сечение — шестиугольник. Его площадь S_сеч = S_пр/cos φ, где S_пр — площадь проекции сечения на основание, φ — угол между π (и гранью SAB) и основанием. Аналогично S = S(OAB)/cos φ, поэтому S_сеч/S = S_пр/S(OAB).
4. Проекция сечения — шестиугольник с вершинами (±3a/4; −k/2), (±a/2; 0), (±a/8; k/4). Его площадь — сумма двух трапеций: ((3a/2 + a)/2)·(k/2) + ((a + a/4)/2)·(k/4) = 5ak/8 + 5ak/32 = 25ak/32. S(OAB) = ak/2.
5. S_сеч = S·(25ak/32)/(ak/2) = 25S/16.