Условие
Какую наибольшую длину может иметь ребро правильного тетраэдра, который помещается в коробку, имеющую форму куба с ребром 1 см?
Разбор задания
Номер 780 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пример: тетраэдр AB₁CD₁ с вершинами в четырёх вершинах куба ABCDA₁B₁C₁D₁, никакие две из которых не соединены ребром куба, правильный — все его рёбра являются диагоналями граней и равны √2 см.
- Оценка сверху. Ширина тела в данном направлении — расстояние между двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными этому направлению и заключающими тело. Тело, помещённое в куб с ребром 1, имеет ширину не больше 1 в направлении любого ребра куба.
- Наименьшая ширина правильного тетраэдра с ребром d равна расстоянию между его противоположными рёбрами, то есть d/√2 (тетраэдр AB₁CD₁ с ребром √2 заключён между плоскостями граней куба ABCD и A₁B₁C₁D₁ на расстоянии 1 = √2/√2; в любом другом направлении ширина больше). Значит, d/√2 ≤ 1, d ≤ √2.
- Наибольшая длина ребра — √2 см.
Ответ
√2 см.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →