Условие
Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Докажите, что пересечение тетраэдров AB₁CD₁ и C₁BA₁D есть правильный октаэдр.
Разбор задания
Номер 781 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Введём координаты: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0), верхние вершины с z = 1. Тетраэдр AB₁CD₁ — множество точек куба, удовлетворяющих неравенствам x − y − z ≤ 0, −x + y − z ≤ 0, −x − y + z ≤ 0, x + y + z ≤ 2 (это полупространства, ограниченные плоскостями его граней ACB₁, ACD₁, AB₁D₁, B₁CD₁ и содержащие четвёртую вершину).
- Тетраэдр C₁BA₁D получается из первого симметрией относительно центра куба (x → 1 − x, y → 1 − y, z → 1 − z): x + y + z ≥ 1, x + y − z ≤ 1, x − y + z ≤ 1, −x + y + z ≤ 1.
- Перейдём к координатам относительно центра куба: u = x − ½, v = y − ½, w = z − ½. Восемь неравенств принимают вид |u + v + w| ≤ ½, |u − v − w| ≤ ½, |−u + v − w| ≤ ½, |−u − v + w| ≤ ½, то есть |±u ± v ± w| ≤ ½ при всех сочетаниях знаков, что равносильно |u| + |v| + |w| ≤ ½.
- Множество |u| + |v| + |w| ≤ ½ — правильный октаэдр с вершинами (±½; 0; 0), (0; ±½; 0), (0; 0; ±½) относительно центра, то есть с вершинами в центрах граней куба; все его 12 рёбер равны √2/2.
Ответ
Доказано: пересечение — правильный октаэдр с вершинами в центрах граней куба.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →