Условие
Докажите, что из конечного числа попарно различных кубов нельзя составить прямоугольный параллелепипед.
Разбор задания
Номер 782 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Предположим, что параллелепипед составлен из конечного числа (не менее двух) попарно различных кубов. Кубы, стоящие на нижней грани параллелепипеда, разбивают её на попарно различные квадраты.
- Рассмотрим наименьший из кубов нижнего слоя. Все соседние с ним кубы нижнего слоя больше его, поэтому их боковые грани поднимаются выше его верхней грани; там, где соседей нет, верхнюю грань ограничивает боковая грань самого параллелепипеда. Верхняя грань наименьшего куба не может совпадать с верхней гранью параллелепипеда: соседние кубы выше и не поместились бы. Значит, верхняя грань наименьшего куба со всех сторон окружена «стенками».
- Кубы, лежащие на этой верхней грани, не могут выступать за неё (мешают стенки), поэтому они целиком разбивают её на попарно различные квадраты, каждый из которых меньше самой грани. Среди этих кубов снова есть наименьший, и рассуждение повторяется.
- Получается бесконечная последовательность всё меньших кубов — противоречие с тем, что кубов конечное число.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →