Номер 783 — Геометрия 11 класс

Внутри куба с ребром 1 см расположена ломаная, причём любая плоскость, параллельная любой грани куба, пересекает её не более чем в одной точке. Докажите, что длина ломаной меньше 3 см. Докажите, что можно построить ломаную, обладающую указанным свойством, длина которой сколь угодно мало отличается от 3 см.

1. Направим оси координат по рёбрам куба. Условие означает, что при движении вдоль ломаной каждая координата строго монотонна (если бы координата x приняла одно значение в двух точках, плоскость x = const пересекла бы ломаную дважды).
2. Для звена с приращениями координат Δx, Δy, Δz длина √(Δx² + Δy² + Δz²) ≤ |Δx| + |Δy| + |Δz|, причём равенство возможно лишь когда два приращения равны нулю, то есть звено параллельно оси — но тогда плоскость, содержащая это звено и параллельная грани, пересекает ломаную по отрезку. Значит, для каждого звена неравенство строгое.
3. Суммируя по всем звеньям и пользуясь монотонностью, получаем: длина ломаной < Σ|Δx| + Σ|Δy| + Σ|Δz| = (полное изменение x) + (полное изменение y) + (полное изменение z) ≤ 1 + 1 + 1 = 3 см.
4. Построение: возьмём малое δ > 0 и большое n. Пусть ломаная выходит из вершины (0; 0; 0), и её звенья по очереди имеют приращения (1/n − 2δ; δ; δ), (δ; 1/n − 2δ; δ), (δ; δ; 1/n − 2δ), повторённые n раз. Все координаты строго возрастают (свойство выполнено), конец ломаной — точка (1; 1; 1), а длина равна 3n·√((1/n − 2δ)² + 2δ²) > 3n(1/n − 2δ) = 3 − 6nδ, что при δ → 0 сколь угодно близко к 3 см.