Условие
Отрезки AB и CD перемещаются по скрещивающимся прямым. Докажите, что объём тетраэдра ABCD при этом не изменяется.
Разбор задания
Номер 784 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть d — расстояние между скрещивающимися прямыми AB и CD, φ — угол между ними. Построим параллелепипед, у которого AB и CD — диагонали двух противоположных граней: через AB проведём плоскость, параллельную CD, через CD — плоскость, параллельную AB, и через концы отрезков — плоскости, параллельные обоим.
- Грань, содержащая AB, — параллелограмм с диагоналями AB и отрезком, равным и параллельным CD; его площадь равна ½·AB·CD·sin φ. Расстояние между противоположными гранями равно d, поэтому объём параллелепипеда V₀ = ½·AB·CD·d·sin φ.
- Тетраэдр ABCD получается из параллелепипеда отсечением четырёх тетраэдров, у каждого из которых объём равен ⅙V₀ (основание — половина грани, высота — высота параллелепипеда). Значит, V(ABCD) = V₀ − 4·V₀/6 = V₀/3 = ⅙·AB·CD·d·sin φ.
- При перемещении отрезков по своим прямым длины AB, CD, расстояние d и угол φ между прямыми не меняются, поэтому объём тетраэдра постоянен.
Ответ
Доказано; V = ⅙·AB·CD·d·sin φ.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →