Условие
Докажите, что центры граней правильного додекаэдра являются вершинами правильного икосаэдра.
Разбор задания
Номер 785 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- У правильного додекаэдра 12 граней — правильных пятиугольников, 20 вершин, в каждой вершине сходятся три грани. Все симметрии додекаэдра переводят его в себя, переставляя грани, а значит, и центры граней.
- Возьмём вершину V додекаэдра и три грани, сходящиеся в ней. Поворот вокруг оси, проходящей через V и центр додекаэдра, на 120° переводит эти грани друг в друга, поэтому их центры образуют правильный треугольник. Всего таких треугольников 20 (по числу вершин); соединив центры соседних граней, получаем многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями.
- Все эти треугольники равны: любую пару смежных граней додекаэдра можно перевести в любую другую его симметрией. В каждом центре грани сходятся 5 треугольников (у пятиугольной грани 5 соседей), и при повороте вокруг оси через центр грани на 72° они переходят друг в друга. Многогранник выпуклый (его вершины лежат на сфере, а грани получены соединением ближайших центров).
- Выпуклый многогранник с 20 равными правильными треугольными гранями, по 5 в каждой вершине, — правильный икосаэдр.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →