Условие
Докажите, что центры граней правильного икосаэдра являются вершинами правильного додекаэдра.
Разбор задания
Номер 786 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- У правильного икосаэдра 20 граней — правильных треугольников, 12 вершин, в каждой вершине сходятся пять граней. Симметрии икосаэдра переставляют его грани и их центры.
- Возьмём вершину V икосаэдра и пять граней, сходящихся в ней. Поворот вокруг оси через V и центр икосаэдра на 72° переводит эти грани друг в друга, поэтому их центры лежат в одной плоскости (перпендикулярной оси) и образуют правильный пятиугольник. Таких пятиугольников 12 (по числу вершин).
- Все пятиугольники равны, так как любую вершину икосаэдра можно перевести в любую другую его симметрией. В каждом центре грани сходятся три пятиугольника (у треугольной грани три соседа), и поворот на 120° вокруг оси через центр грани переводит их друг в друга.
- Выпуклый многогранник с 12 равными правильными пятиугольными гранями, по три в каждой вершине, — правильный додекаэдр.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →