Условие
В правильном треугольнике ABC сторона равна a. Отрезок AS длины a перпендикулярен к плоскости ABC. Найдите расстояние и угол между прямыми AB и SC.
Разбор задания
Номер 787 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Введём координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a/2; a√3/2; 0), S(0; 0; a). AB⃗{a; 0; 0}, SC⃗{a/2; a√3/2; −a}, |SC⃗| = a√2.
- Угол: cos φ = |AB⃗·SC⃗|/(|AB⃗||SC⃗|) = (a²/2)/(a·a√2) = √2/4, φ = arccos(√2/4) ≈ 69,3°.
- Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина проекции вектора AS⃗ (соединяющего точки прямых) на общий перпендикуляр. Вектор n⃗, перпендикулярный обеим прямым: n⃗ ⟂ AB⃗ даёт n₁ = 0; n⃗ ⟂ SC⃗ даёт (√3/2)n₂ − n₃ = 0, возьмём n⃗{0; 2; √3}, |n⃗| = √7.
- d = |AS⃗·n⃗|/|n⃗| = a√3/√7 = a√21/7 ≈ 0,65a.
Ответ
Расстояние a√21/7; угол arccos(√2/4) ≈ 69,3°.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →