Номер 788 — Геометрия 11 класс

В правильном треугольнике ABC сторона равна a. На сонаправленных лучах BD и CE, перпендикулярных к плоскости ABC, взяты точки D и E так, что BD = a/√2, CE = a√2. Докажите, что треугольник ADE прямоугольный, и найдите угол между плоскостями ABC и ADE.

1. Введём координаты: A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a/2; a√3/2; 0), D(a; 0; a/√2), E(a/2; a√3/2; a√2).
2. AD⃗{a; 0; a/√2}, DE⃗{−a/2; a√3/2; a/√2}. AD⃗·DE⃗ = −a²/2 + 0 + a²/2 = 0, значит ∠ADE = 90°.
3. Катеты: AD = √(a² + a²/2) = a√(3/2), DE = √(a²/4 + 3a²/4 + a²/2) = a√(3/2). S(ADE) = ½·(3a²/2) = 3a²/4.
4. Треугольник ABC — ортогональная проекция треугольника ADE на плоскость ABC (D проектируется в B, E — в C). Поэтому S(ABC) = S(ADE)·cos φ: a²√3/4 = (3a²/4)cos φ, cos φ = √3/3, φ = arccos(√3/3) ≈ 54,7°.