Номер 789 — Геометрия 11 класс

Используя векторы, докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

1. Пусть a⃗, b⃗, c⃗ — векторы трёх рёбер, выходящих из одной вершины. Четыре диагонали: a⃗ + b⃗ + c⃗, a⃗ + b⃗ − c⃗, a⃗ − b⃗ + c⃗, −a⃗ + b⃗ + c⃗.
2. Сумма квадратов: каждый квадрат даёт a⃗² + b⃗² + c⃗² плюс удвоенные произведения ±2a⃗·b⃗ ± 2a⃗·c⃗ ± 2b⃗·c⃗. Произведение 2a⃗·b⃗ входит со знаком «+» в первой и второй диагоналях и со знаком «−» в третьей и четвёртой; так же для остальных пар. Все удвоенные произведения взаимно уничтожаются.
3. Итог: сумма квадратов диагоналей равна 4(a⃗² + b⃗² + c⃗²) = 4|a⃗|² + 4|b⃗|² + 4|c⃗|², а это и есть сумма квадратов двенадцати рёбер (по четыре ребра каждой длины).