Номер 790 — Геометрия 11 класс

Основание ABC тетраэдра OABC прозрачное, а все остальные грани зеркальные. Все плоские углы при вершине O прямые. Докажите, что луч света, вошедший в тетраэдр через основание ABC под произвольным углом к нему, отразившись от граней, выйдет в противоположном направлении по отношению к входящему лучу. (На этом свойстве основано устройство уголкового отражателя.)

1. Направим оси координат по рёбрам OA, OB, OC: зеркальные грани лежат в координатных плоскостях x = 0, y = 0, z = 0. Пусть направляющий вектор луча v⃗{v₁; v₂; v₃}.
2. При отражении от зеркальной плоскости составляющая направления, перпендикулярная плоскости, меняет знак, а составляющие вдоль плоскости сохраняются. Отражение от грани x = 0 переводит v⃗ в {−v₁; v₂; v₃}, от грани y = 0 — меняет знак у v₂, от грани z = 0 — у v₃.
3. Луч, вошедший через основание внутрь тетраэдра, движется к вершине O, то есть все его составляющие направлены к соответствующим граням; он последовательно отражается от всех трёх граней (после отражения от одной грани составляющие по двум другим осям по-прежнему направлены к оставшимся граням). Порядок отражений роли не играет.
4. После трёх отражений направляющий вектор равен {−v₁; −v₂; −v₃} = −v⃗: луч выходит через основание в направлении, противоположном входящему.