Условие
Из точки A исходят четыре луча AB, AC, AD и AE так, что ∠BAC = 60°, ∠BAD = ∠DAC = 45°, а луч AE перпендикулярен к плоскости ABD. Найдите угол CAE.
Разбор задания
Номер 791 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Введём координаты: A — начало, ось Ox по AB, плоскость Oxy — плоскость ABD, ось Oz по AE. Единичные векторы: b⃗{1; 0; 0}, d⃗{√2/2; √2/2; 0} (угол BAD = 45°), e⃗{0; 0; 1}.
- Пусть c⃗{x; y; z} — единичный вектор луча AC. Из ∠BAC = 60°: x = ½. Из ∠DAC = 45°: (x + y)√2/2 = √2/2, откуда x + y = 1, y = ½.
- Тогда z² = 1 − ¼ − ¼ = ½, z = ±√2/2. cos∠CAE = c⃗·e⃗ = z, поэтому ∠CAE = 45°, если луч AC лежит по ту же сторону от плоскости ABD, что и AE, и 135° — если по другую.
Ответ
45° (или 135°, если лучи AC и AE лежат по разные стороны от плоскости ABD).
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →