Номер 792 — Геометрия 11 класс

Докажите, что высоты тетраэдра пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда его противоположные рёбра перпендикулярны.

1. Пусть ABCD — тетраэдр, h_A и h_B — высоты из вершин A и B. Высота h_A перпендикулярна плоскости BCD, поэтому h_A ⟂ CD; аналогично h_B ⟂ CD.
2. Если h_A и h_B пересекаются, они лежат в одной плоскости π, содержащей точки A и B, то есть прямую AB. Прямая CD перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости π, значит CD ⟂ π и CD ⟂ AB. Так, если все высоты проходят через одну точку, каждая пара противоположных рёбер перпендикулярна.
3. Обратно, пусть AB ⟂ CD. Через прямую AB проведём плоскость π ⟂ CD (она существует, так как AB ⟂ CD). Высота h_A перпендикулярна CD и проходит через A, поэтому лежит в π (все прямые через A, перпендикулярные CD, лежат в плоскости через A, перпендикулярной CD, а это и есть π); так же h_B ⊂ π. Две прямые одной плоскости, перпендикулярные разным непараллельным плоскостям, не параллельны, значит h_A и h_B пересекаются. Итак, при перпендикулярности всех пар противоположных рёбер любые две высоты пересекаются.
4. Четыре попарно пересекающиеся прямые, не лежащие в одной плоскости (высоты из разных вершин не могут лежать в одной плоскости, иначе все вершины лежали бы в ней), проходят через одну точку: если бы h_A ∩ h_B = P, h_A ∩ h_C = Q ≠ P, то h_B и h_C, пересекаясь с h_A в разных точках и пересекаясь между собой, лежали бы с h_A в одной плоскости — противоречие.