Условие
Три боковых ребра тетраэдра равны друг другу. Докажите, что прямая, образующая равные углы с этими рёбрами и пересекающая плоскость основания, перпендикулярна к этой плоскости.
Разбор задания
Номер 793 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть DA = DB = DC в тетраэдре DABC, e⃗ — единичный направляющий вектор прямой, образующей равные углы φ с лучами DA, DB, DC.
- Тогда e⃗·DA⃗ = |DA|cos φ, e⃗·DB⃗ = |DB|cos φ, e⃗·DC⃗ = |DC|cos φ, а так как |DA| = |DB| = |DC|, все три произведения равны.
- Отсюда e⃗·AB⃗ = e⃗·(DB⃗ − DA⃗) = 0 и e⃗·BC⃗ = e⃗·(DC⃗ − DB⃗) = 0: вектор e⃗ перпендикулярен двум пересекающимся прямым AB и BC плоскости основания. Значит, прямая перпендикулярна плоскости ABC.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →