Условие
Все плоские углы тетраэдра OABC при вершине O прямые. Докажите, что проекция вершины O на плоскость ABC есть точка пересечения высот треугольника ABC.
Разбор задания
Номер 794 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть O₁ — проекция O на плоскость ABC, тогда OO₁ ⟂ AB. Ребро OC перпендикулярно OA и OB, поэтому OC ⟂ плоскости OAB и OC ⟂ AB.
- Прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым OC и OO₁, значит AB ⟂ плоскости OCO₁, откуда AB ⟂ CO₁: прямая CO₁ содержит высоту треугольника ABC.
- Точно так же BC ⟂ плоскости OAO₁ (BC ⟂ OA и BC ⟂ OO₁), откуда BC ⟂ AO₁. Точка O₁ лежит на двух высотах треугольника ABC, то есть является точкой их пересечения.
Ответ
Доказано.
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →