Условие
Из точки сферы проведены три попарно перпендикулярные хорды. Докажите, что сумма их квадратов не зависит от положения этих хорд.
Разбор задания
Номер 795 — Геометрия 11 класс
Атанасян Л. С. · § 4. Задачи повышенной трудности
Решение
- Пусть из точки A сферы радиуса R проведены попарно перпендикулярные хорды AB, AC, AD. Построим прямоугольный параллелепипед с вершиной A и рёбрами AB, AC, AD.
- Сфера, описанная около прямоугольного параллелепипеда, проходит через все его вершины, в том числе через A, B, C, D. Через четыре точки, не лежащие в одной плоскости, проходит единственная сфера, значит это данная сфера, и её диаметр равен диагонали параллелепипеда.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений: AB² + AC² + AD² = (2R)² = 4R² — не зависит от выбора хорд.
Ответ
Доказано; сумма квадратов равна 4R².
Теория по теме в учебнике
Не понял тему? Разберись с правилами и теорией в нашем учебнике по предмету «Геометрия» за 11 класс.
Координаты в пространстве: система координатПоложение точки в пространстве задают тремя координатами (x; y; z) относительно трёх взаимно перпендикулярных осей. Координаты вектора, расстояние между точками, середина отрезка — формулы.Векторы в пространствеКоординаты вектора, скалярное произведение, угол между векторами.Уравнение плоскостиОбщее уравнение плоскости, нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.Правильные многогранникиПлатоновы тела: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.Сечения многогранниковПостроение сечений, сечения плоскостями, параллельными граням.Объём призмы и параллелепипедаКак вычислять объём прямой и наклонной призмы, прямоугольного параллелепипеда и куба через площадь основания и высоту.
Все темы по предмету «Геометрия» за 11 класс →