Номер 813 — Геометрия 11 класс

Шар образован вращением полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр. При этом поверхность, образованная вращением некоторой хорды, один конец которой совпадает с концом данного диаметра, разбивает шар на две равные по объёму части. Найдите косинус угла между этой хордой и диаметром.

1. Пусть AB — диаметр, R — радиус, хорда AC образует с AB угол θ, AC = 2R·cos θ. При вращении хорда описывает коническую поверхность с вершиной A, а точка C — окружность радиуса ρ = AC·sin θ = 2R·sin θ·cos θ, плоскость которой удалена от A на AC·cos θ = 2R·cos²θ.
2. Часть шара, лежащая внутри конической поверхности, состоит из конуса (вершина A, основание — эта окружность) и шарового сегмента высотой h₁ = 2R − 2R·cos²θ = 2R·sin²θ. Обозначим s = sin²θ, c = cos²θ = 1 − s.
3. V_конуса = ⅓π·4R²sc·2Rc = (8/3)πR³sc², V_сегм = πh₁²(R − h₁/3) = 4πR³s²(1 − 2s/3). Условие: (8/3)sc² + 4s² − (8/3)s³ = ⅔ (половина объёма шара, делённая на πR³).
4. Подставляя c = 1 − s: (8/3)s(1 − 2s + s²) + 4s² − (8/3)s³ = (8/3)s − (4/3)s² = ⅔, откуда 2s² − 4s + 1 = 0, s = 1 − √2/2 (корень 1 + √2/2 > 1 не подходит). Тогда cos²θ = √2/2 и cos θ = √(√2/2) = 1/⁴√2 ≈ 0,84.