Номер 814 — Геометрия 11 класс

Все высоты тетраэдра пересекаются в точке H. Докажите, что точка H, центр O описанной сферы и точка G пересечения отрезков, соединяющих вершины с точками пересечения медиан противоположных граней тетраэдра, лежат на одной прямой (прямая Эйлера), причём точки O и H симметричны относительно точки G.

1. Примем O за начало отсчёта и обозначим радиус-векторы вершин a⃗, b⃗, c⃗, d⃗; все они имеют длину R. Точка G (задача 748) имеет радиус-вектор g⃗ = ¼(a⃗ + b⃗ + c⃗ + d⃗). Поскольку высоты пересекаются, противоположные рёбра перпендикулярны (задача 792): (d⃗ − a⃗)·(c⃗ − b⃗) = 0 и т. д.
2. Рассмотрим точку с радиус-вектором h⃗ = ½(a⃗ + b⃗ + c⃗ + d⃗) и покажем, что она лежит на высоте из A: h⃗ − a⃗ = ½(b⃗ + c⃗ + d⃗ − a⃗). Тогда (h⃗ − a⃗)·(c⃗ − b⃗) = ½(c⃗² − b⃗² + (d⃗ − a⃗)·(c⃗ − b⃗)) = ½(R² − R² + 0) = 0 и (h⃗ − a⃗)·(d⃗ − c⃗) = ½(d⃗² − c⃗² + (b⃗ − a⃗)·(d⃗ − c⃗)) = 0.
3. Вектор h⃗ − a⃗ перпендикулярен двум пересекающимся прямым BC и CD плоскости BCD, поэтому прямая, проходящая через A и точку h⃗, — высота из A. По симметрии формулы та же точка лежит на всех четырёх высотах, значит h⃗ — радиус-вектор точки H.
4. Итак, OH⃗ = h⃗ = 2g⃗ = 2OG⃗: точки O, G, H лежат на одной прямой, и G — середина OH.