Номер 815 — Геометрия 11 класс

Дан тетраэдр, все высоты которого пересекаются в одной точке. Докажите, что точки пересечения медиан всех граней, основания высот тетраэдра и точки, которые делят каждый из отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами, в отношении 2 : 1, считая от вершины, лежат на одной сфере, центр которой расположен на прямой Эйлера (сфера Эйлера).

1. Как в задаче 814, O — начало, a⃗, b⃗, c⃗, d⃗ — радиус-векторы вершин (длины R), h⃗ = ½(a⃗ + b⃗ + c⃗ + d⃗) — точка H, g⃗ = ¼(a⃗ + b⃗ + c⃗ + d⃗) — точка G. Пусть Σ — сфера с центром E, где e⃗ = ⅓(a⃗ + b⃗ + c⃗ + d⃗) = (4/3)g⃗, и радиусом R/3; точка E лежит на прямой OG, то есть на прямой Эйлера.
2. Центр тяжести грани BCD: g⃗_A = ⅓(b⃗ + c⃗ + d⃗), и g⃗_A − e⃗ = −⅓a⃗ — вектор длины R/3. Значит, точки пересечения медиан всех граней лежат на Σ (гомотетия с центром G и коэффициентом −⅓ переводит описанную сферу в Σ).
3. Точка P_A на отрезке HA с AP_A : P_AH = 2 : 1: p⃗_A = h⃗ + ⅓(a⃗ − h⃗) = ⅔h⃗ + ⅓a⃗ = e⃗ + ⅓a⃗ — тоже на расстоянии R/3 от E (гомотетия с центром H и коэффициентом ⅓). Так же для остальных вершин.
4. Точки G_A и P_A диаметрально противоположны на Σ (их радиус-векторы e⃗ ∓ ⅓a⃗). Основание H_A высоты из A лежит на прямой AH (содержащей P_A) и в плоскости BCD (содержащей G_A), причём AH ⟂ BCD, поэтому ∠G_AH_AP_A = 90° (если H_A не совпадает с одной из этих точек). Точка, из которой диаметр виден под прямым углом, лежит на сфере: H_A ∈ Σ.
5. Итак, все 12 точек лежат на сфере Σ с центром на прямой Эйлера и радиусом R/3.